洛叶边看边在旁边记录自己的感想,不知不觉到了中午,洛叶去一楼的餐厅用餐的时候,非常巧就碰到了西蒙·布伦德,他们居然住在同一家酒店。
洛叶想了想,干脆走上去搭讪,把之前写下来的一些问题问当事人好了。
布伦德看到洛叶只是有些诧异,不过也只是有些,听说她是普林斯顿的学生,跟随教授前来参加欧洲数学会,脸上就不由的露出了些许了然。
“……空间和基本群?”
非线性偏微分方程,洛叶了解的并不多,洛叶询问的内容还是偏向于微分几何,而且洛叶问的还是数学大师约翰·米尔诺在十九世纪发表的一篇论文,表述了空间和基本群的关系。
洛叶,“我注意到你曾经发表的过的论文,yamabe流动的收敛性,紧凑猜想的反例,里面是有群论相关,负曲率空间的基本群受到曲率强烈的约束,必须具备某些特殊的性质,而基本群也算是拓扑几何的概念。”
数学主要分支有一百多个,可是这些分支之间的联系十分紧密,洛叶研究的群论可以和目前国际热门数学研究领域全都挂上勾。
布伦德道,“普利斯曼定理看过吗,它比较详细的表述了曲率如何影响基本群。”
而在旁人看来,两人完全是交谈甚欢,而在他们旁边的人完全听不懂他们两个在讨论什么。
这个时间正值暑假,来欧洲旅行的不少,比较年轻的像是学生一样的人就忍不住的看向他们两人,有一个还忍不住拍了照片,悄悄的询问同桌,“你们能听得懂他们在交流什么吗?”
其他人纷纷摇了摇头,“我看报道,最近欧洲数学会要在这里召开,他们应该是来参加的人吧。”
“他们看起来一点不像是数学家啊。”
“尤其是那个女生,看起来好小。”
在他们印象中,数学家应该都是头发花白,年过半百,可无论是布伦德还是洛叶都颠覆了他们的想象,这也太年轻了。
他们是外行,可是餐厅却不乏有内行,他们是绝对认得布伦德的,看着他居然和一个小女生交谈甚欢,他们都不由的想揉一揉眼睛,确定没有错之后,看洛叶的眼神就多了几分奇异。
布伦德也没有想到他居然可以和洛叶基本上没有障碍的交流下去,不但是曲率和基本群,洛叶懂黎曼几何,辛几何,拓扑几何,分形几何,有些涉猎他自己都没有她来的广。
他比洛叶这个学生要忙多了,在不得不结束和她的谈话时,非常诧异的问道,“你对几何学的认识明显比代数学要好,为什么要选择的群论?”
洛叶当然不会和他说真的原因,只是道,“等我硕博的时候应该会选择代数几何。”
布伦德道,“那应该很快了。”
他20岁就拿到了博士学位,和他比洛叶的进度算是慢了,可是经过刚刚的交谈,他相信只要他愿意,应该会很快拿到硕士学位和博士学位,他匆匆写下了自己的邮箱,“如果你在微分几何上有什么问题可以和我讨论。”
欧洲数学会主要是面向于在欧洲工作以及欧洲籍贯的数学家,布伦德拿到博士学位后就开始在斯坦福担任教授,现在在哥伦比亚大学任教,可以说他已经许久没有回过欧洲了,这次回来,不但要准备报告,还要和一众故人联络。
等布伦德走后,洛叶收好了纸条,吃完剩下的东西才继续上楼。
第二天布伦德的报告会,洛叶也去听了,下面做的满满的,其中不乏知名的数学家。
而布伦德的补充主要是在对于在他证明武义-劳森猜想中运用的的一个泛函方程,正是因为这个泛函方程,让他有了灵光一闪,最终用一个简单无比的方式来证明了这个猜想。
而光是一个补充,是无法支撑过一个小时的报告会的,在讲完这个泛函方程后,他又开始讲起了让自己之前发表过微分球面定理(differential sphere theorem),也是对那篇论文做一个重要补充,讲其中一个关键点,三维流行几何。
“……任何紧致,可定向的三维流行,当用其中一些整正互补相互交的球面和环面去切,对一个紧致单联通的黎曼流行,它的截面曲率位于……”
“……在截面曲率拼挤条件下,常曲率空间形式中的紧致子流行拓扑同胚于球面,当大于四维,紧致定向的子流行满足于……”
等到布伦德的报告讲完,下面响起了热烈的掌声,趁着这掌声洛叶悄然离去。
欧洲数学会的影响力差不多仅次于世界数学会,在这样的会上,永远不缺乏数学大佬,在布伦德的报告暂时告一段落后,洛叶又跑到了隔壁的听了爱德华·威腾的数学报告。
说起来爱德华·威腾也是普林斯顿的教授,可因为课程问题,洛叶之前还没有近距离接触过这位教授,可也听过他的传奇事迹。
大学专业是历史,后来对物理产生了兴趣,开始改学物理,在物理学上创建了一系列的理论,几次引发理论物理学的大地震,是理论物理的代表人物,后来为了研究理论物理去钻研数学,再后来他获得了菲尔兹奖。
可以说他本身就代表了传奇。
洛叶高中时候还深入研究了一番物理学,因此自然也知道他的事迹,只是上了大学后,她暂时放弃了物理学。
现在倒是有幸听了威腾关于数学物理的报告。
物理弦论认为时空的总数是十,其中的四维是爱因斯坦理论中的四维时空,此外的六维属于卡拉比-丘空间,它独立得暗藏于四维时空的每一点,我们看不到它们,但是弦论的结果告诉我们,它们是真实存在的。
之所以叫卡拉比-丘空间,是因为这源于卡拉比的猜想,最后由丘成桐证明成立。
而弦论告诉我们的不止是存在我们看不到的六个维度——因为这六个维度缩成了一个极小的空间,这个空间小到我们可以当做存在,可是理论上它却是真实存在的,且告诉我们这六个维度才是我们宇宙的决定性因素,决定了这个宇宙的性质和物理定律,哪种粒子能够存在,质量是多少,他们是如何相互作用。甚至自然界的一些常数都取决于卡拉比-求丘空间的“内空间”。
而威腾就是希望把这个内空间用几何的方式来表达出来。
比起来布伦德,这位大数学家大物理家就随性了许多,没有和下面的人眼神交流,自顾自的写一个个的公式,下面没有一个人出言提出反对。
当然真的能听懂他理论的人非常少,物理界中能听懂他理论的人都少,更不用说在座的都是数学家了,他们只能从威腾写的公式上来理解它们的数学意义。
“……卡拉比-丘空间目前已经超过了十万个,现在依旧在不断的增加,镜像对最初在物理界发现,后来被用到了数学领域,求解曲线因此而破解,同时确定了给定阶数的有理曲线的五次数——一个卡拉比-丘空间的总数。”
威腾洋洋洒洒的讲了一个小时,根本没留下提问的时间,讲完就丢下资料走人了。
洛叶回去之后又回想了一遍他的内容,翻出来了一些威腾的论文。
对球体堆积又有了一点新的想法。
作者有话要说: 早安
☆、191
在三维的球体堆积中,最密堆积是由若干二维密置层叠合起来整的, 密置层中相邻的等径球都相切, 最常见的最密堆积有两种, 一种是面心立方, 底部是三角形,一种是六方最密堆积,底部为六角形。
其中面心立方是三维球体堆积中最密堆积,约为百分之七十四。开普勒猜想是关于此最著名的一个猜想,这个猜想直到了2014年,才由黑尔斯引导完成了形式化证明,而完成这个证明黑尔斯用了足足六年, 从1998年提出穷举法, 到之后引用超级计算机运算。
可以说这个证明复杂非常, 而这仅仅是三维,从理论上来讲,每上升一个维度计算的难度和工程量都会上升,而洛叶却要反其道而行, 想用简单的方式来证明, 就像是布伦德证明的武义-劳森猜想,在八维的尝试证明中,洛叶不甚满意,等扩展到了她现在进行二十四维,更不满意了。
而她无法找到一条更为简单的路径,在接连听了布伦德和威腾的报告后, 让她有了新的想法。
既然从抽象代数的角度找不到更优的路径,那不如引入其他理论。
洛叶决定多去听一听报告。
洛叶第二天听的报告是一位女数学家,玛杨·莫扎尼卡,在数学界中女数学家很少,顶尖的女数学家更少,而莫扎尼卡就是其中一位堪称顶尖的数学家,最为擅长的领域是黎曼曲面,模空间,几何学。
她做的报告是关于双曲面的。
双曲面状似甜甜圈,拥有两个洞以上的曲面,它可以说在三维空间无法存在,只存在于数学家想象中的抽象空间,曲面的距离和角度只能以一组特殊的方程来测量,如果双曲面上存在虚拟生物,那生物在双曲面上的任意一点都像是鞍部。
它自从出现就成了几何学的中心之一,被无数狂热的数学家研究,可是它的存在就是不可思议的,所以它也是高不可攀的,研究到了现在,一些简单的问题都没有解决掉。
比如在双曲面上的“直线”——在数学上被称为测地线,也就是最短路径问题。因为双曲面上,有些测地线可以无限延长,像是普通二维平面上的直线一样,有些却是封闭的曲线,所以数学家无法弄清楚在双曲面上到底有几条测地线。
而莫扎尼卡研究这个问题,发明了一个公式,可以回答这个问题,她以这个公式发表了三篇论文,分别刊登在四大期刊的三家期刊上——《数学年刊》《数学新进展》《美国数学会杂志》。
就差一个《数学年报》拿到大满贯。
是最近几年最为引人注目的数学家之一。
而她做的报告正是对这个公式的详细的补充和说明,下面坐满了人。
洛叶在下面听的十分专注,时不时的做笔记,不得不说,这种只存在于抽象空间的几何体对洛叶来说更为有吸引力,而且在莫扎尼卡说自己如何想到那个充满了创意的方程,一点点的让它变成现在的完整模样,怎么在脑海构建这么一个抽象几何体,给了洛叶十分大的启发。
她回去之后找了许多曲面的相关的论文,熬了一夜后马不停蹄的接着奔赴报告会场。
可以说等这次欧洲数学会结束的时候,洛叶还意犹未尽,这样高水平的报告会哪里有那么容易见到?再次见到恐怕要等14年的世界数学会了,而下次的欧洲数学会要等16年。
而这次的欧洲数学会会奖落在了布伦德头上。
代数几何方面的著名数学家法尔廷斯给布伦德颁发了这个奖项,舒尔茨也受邀出席了这次的欧洲数学会,只是他做的是45分钟的报告,他的风头比布伦德强劲,可比不得布伦德这几年发表的论文,和积累的成果。
洛叶站在他身边,跟随着众人一起鼓掌,“下一次的ems(欧洲数学会奖简写)应该属于你了。”
两人这段时间都在保持着不太频繁的交流,洛叶知道他最近的研究进度,他现在撰写的论文准备投递给《数学年刊》。
舒尔茨,“还要四年……”
“拉马努金奖就在明年了。”
洛叶淡淡的道,“这次的报告会让我受益匪浅,我应该会在暑假前结束现在的研究。”
拉马努金奖一年颁发一次,奖励在过去一年中做出突出贡献并且未满45周岁的数学家,洛叶现在的球体堆积工作如果完成是对这个领域的颠覆性创新,那势必是要投递到四大期刊上,那时间就来不及了,只能等待着明年的拉马努金奖。
而非常不巧,舒尔茨的研究进度和她差不多时间撞车了,而如果他们两个前后脚发布成果,并且同时竞争明年的奖项,那就有意思了。
洛叶关注这个奖项说到底还是因为舒尔茨,其实他今年也有资格竞争这个奖项,可是到现在今年已经过半了,来自于华夏的数学家徐晨阳势头强劲,而且还是那句话,舒尔茨崛起的时间还太短,几年的积累下来,加上今年发表了一篇论文引起了轰动,舒尔茨很难和对方抗争。
如果他现在的工作完成,那明年的拉马努金奖就有他的一席之地。
他竞争还好说,而洛叶本科学位尚且没有拿到,更显得扯淡了。
舒尔茨,“那我们就来看看谁先得到这个奖项吧。”
之所以拿这个奖来比,就是因为这个奖项分量足够,而且还并不是针对于某个特殊领域的奖和某个地域的奖。
比方说ems奖洛叶无法竞争,莱布尼茨奖也没有办法竞争,她的先天条件不符,而舒尔茨也无法竞争一些美国数学会设立的奖项。
有分量,并不局限于某个领域,针对于全球的数学家,一年颁发一次,三个条件局限起来,也就只剩下了那么几个奖项。
舒尔茨说这句话的时候十分认真。
洛叶也十分认真。
在临走前,洛叶特意找到了莫扎尼卡,问她要了邮箱地址。
康伟教授一直没有管洛叶,看她四处去听报告也没有约束她,让她在身边听使唤,等到了飞机上,才笑眯眯的问道,“怎么样?”
洛叶道,“受益匪浅。”
“我的论文应该终于可以写完了。”
从去年定制软件,再到现在,中间查了许多资料,尝试用许多方法来构建数学模型,寻找通用简洁的数学表达模式,时间几乎长达了一年,最终在这个天才云集的数学会上找到了最关键的灵感。
“那就真的太好了。”
洛叶回去之后就直接进入到了闭关模式,开始撰写自己论文的最后阶段。、
高维球的定义其实比超立方体容易多了,甚至构造起来也容易,计算相对来说很简单——高维空间中一个固定的距离给定中心点的点集。
可是这个问题如果延伸到了球体堆积就复杂了n倍,因为每多出一个维度,就要添加更多的计算,洛叶选择八维,和二十四维并不是随便选的,而是因为在这两个维度当中,存在称e8的里奇格子的对称球包装,e8包装球体正比现在已知的其他维度中的最佳候选更好。
而e8和里奇格子涉及到了主诸多领域,数论,组合数学,双曲面,物理弦论,群论只能算是工具,用工具把这些东西串起来,而现在已经有很多理论证明了它们确实是最佳球体包装,可是却无法证明。
而洛叶在从欧洲数学会回来后,就戳破了之前感觉朦朦胧胧的一层纱,她终于找到了可以证明的一个正确函数。
有时候数学理论就是这样,你寻寻觅觅,上下求索,等你终于找到的时候,却发现它原来就在你的脚下,原来它是如此的简单。
洛叶在完成这篇论文的时候论文总共写了98页,而她并不满足,又删减了许多,最后成稿是55页。
写完后她把稿子直接发到了《数学年刊》的投稿邮箱,整个人长舒了一口气。
而写完这篇论文后,她并没有停下自己的脚步,而是继续完成了任意维度小设计的猜想,等这篇论文完成的时候洛叶已经是大二的学生了。